JENIS - JENIS RELASI

JENIS-JENIS RELASI
Relasi Invers
Relasi invers dari R= (A,B,P(x,y)) adalah R^(-1)= (B,A,P(y,x)) atau
R^(-1)= (b,a)(a,b)  R
Contoh:
R =(1,6) (2,6)(3,6)(4,6)
R^(-1)=(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)
Relasi Refleksif
R= (A,A,P(x,y)) merupakan relasi dalam himpunan A dan R AxA
R disebut relasi refleksif jika untuk setiap a A maka ada (a,a)  R, dan R tidak refleksif jika ada sekurang-kurangnya ada satu elemen a A tetapi (a,a) R
Contoh:
A = 1,2,3
R_1= (1,1)(2,2)(3,3)
R_2 = (2,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(3,3)
R_3 = (2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(3,3)
Jawab:
AxA = (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)
R_1 AxA dan untuk setiap a A terdapat (a,a)  R_1
R_1adalah relasi refleksif
R_2 AxA dan untuk setiap a A terdapat (a,a)  R_2
R_2 adalah relasi refleksif
R_3  AxA terdapat 1 A tetapi (1,1) R_3
R_3 bukan relasi refleksif
Relasi Simetris
R= (A,A,P(x,y)) dan R AxA
R disebut relasi simetris jika (a,b) R maka terdapat (b,a) R

Contoh:
A = 1,2,3 dan R = (1,2)(2,3)(2,1)(3,2)(1,3)(3,1)
A = 1,2,3,4 dan R = (1,3)(4,2)(2,4)(2,3)(3,1)
Misalkan R adalah suatu relasi dalam bilalangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh “y habis dibagi x”
Jawab:
R AxA
R adalah relasi simetris karena (a,b) R maka terdapat (b,a) R
R AxA
R bukan relasi simetris karena (2,3) R tetapi (3,2)R
R bukan relasi simetris karena (2,4) R tetapi (4,2)R
Relasi Anti Simetris
R= (A,A,P(x,y)) dan R AxA
R disebut relasi anti simetris jika (a,b)  R (b,a)  R maka a=b
R tidak anti simetris jika terdapat (a,b)  R tetapi a≠ b
Contoh:
A = 1,2,3 R = (1,2)(1,3)(2,3)(3,2)
A = a,b,c R = (a,b)(c,a)(c,c)
A = 1,2,3,4 R = (1,2)(1,3)(2,1)(2,3)(4,3)
Jawab:
R bukan relasi anti simetris
R bukan relasi anti simetris
R bukan relasi anti simetris karena (1,2) R tetapi 1≠2
Relasi Transitif
R= (A,A,P(x,y)) dan R AxA
R disebut relasi transitif jika (a,b)  R (b,c)  R maka (a,c)  R.


Contoh:
W= a,b,c R= (a,b)(c,b)(b,a)(a,c)
A= 1,2,3 R= (1,3)(1,5)(3,5)(5,5)
Jawab:
R bukan relasi transitif karena (a,b)  R (b,c)  R tetapi (a,a) R
R adalah relasi transitif
Relasi Ekivalen
R= (A,A,P(x,y)) dan R AxA
R disebut Relasi Ekivalen, jika:
R Refleksif
R Simetris
R Transitif
Contoh:
A= 1,2,3 dan R= (1,2)(2,3)(1,3)(2,1)(1,1)(2,2)(3,3)(3,1)(3,2)
Jawab:
R Refleksif karena untuk setiap a A maka ada (a,a)  R
R Simetris karena (a,b) R dan (b,a) R
R Transitif karena (a,b)  R (b,c)  R maka (a,c)  R.
R adalah Relasi Ekivalen